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Flocking bajo liderazgo jerárquico con interacciones aleatorias.
Consideremos una bandada de pájaros ordenada según una jerarquía.
En este trabajo estudiamos el alineamiento asintótico de las velocidades, o
"flocking", en la bandada cuando cada uno de los pájaros corrige su velocidad,
en cada etapa, de acuerdo a un promedio ponderado de las velocidades de
los pájaros superiores a él en la jerarquía, donde la ponderación decrece con
la distancia entre los pájaros. Este modelo, llamado de liderazgo jerárquico,
fue propuesto y estudiado por Shen [13], modificando el modelo ya clásico
propuesto por Cucker y Smale en [5]. En nuestro modelo elegimos al azar
cuáles interacciones actúan, respetando la jerarquía, en forma independiente
para cada par de pájaros y cada tiempo, debilitando entonces la interacción
en la bandada del modelo de Shen. Es decir,buscamos analizar casos donde
la comunicación entre los pájaros se ve entorpecida por la presencia de cierto
'ruido'. Los resultados obtenidos son análogos a los obtenidos por Shen en [13],
es decir, condiciones suficientes para la alineación asintótica de las velocidades,
en otros términos, la existencia de flocking
Rice Fórmula : extensions and applications.
El hilo conductor de esta monografía es la Fórmula de Rice para el número
de cruces de un proceso estocástico con un nivel o altura dada.
Trabajamos sobre dos tipos de problemas vinculados con dicha fórmula (familia
de fórmulas).
Por un lado, en la primer parte de la tesis, abordamos el problema de extender
la Fórmula de Rice a procesos cuyas trayectorias tengan saltos, se obtiene tal
fórmula para un proceso que es la suma de dos procesos independientes: un
proceso de trayectorias regulares (suaves) al cual se le pueda aplicar la versión
tradicional y uno de saltos.
Se dan expresiones integrales para el número medio de cruces continuos y
para el número medio de cruces discontinuos (saltos) al nivel dado. Para ello es necesario aplicar técnicas distintas, unas de procesos continuos y otras de procesos puntuales.
Luego, se presenta un par de ejemplos de cálculo concreto de estas fórmulas y
se compara que tipo de cruces predomina a medida que el nivel tiende a infinito.
Además, en uno de estos ejemplos y en otro de un proceso puramente de saltos,
se estudia la cola de la distribución del máximo cuando el nivel crece a infi nito.
Por otro lado, en la segunda parte de la tesis, nos dedicamos a la aplicación
de la Fórmula de Rice (tradicional, es decir, para procesos suaves) para estudiar
el número de raíces de polinomios aleatorios y sistemas de polinomios aleatorios. Mas concretamente, en primer lugar, abordamos los Polinomios Aleatorios
Trigonométricos Clásicos de nidos como combinaciones lineales de cosenos con
coecientes independientes Gaussianos. Se obtiene la varianza asintótica y un
Teorema Central del Límite para el núumero de ceros de este tipo de polinomios.
En este punto, juega un rol protagónico el llamado Caos de Wiener.
Finalmente, estudiamos sistemas de ecuaciones polinomiales aleatorios complejos,
para ello adaptamos la Fórmula de Rice sobre variedades a este contexto.
Luego, usamos estas herramientas para dar un posible camino de prueba del Teorema
de Bezout sobre el número de soluciones de tales sistemas. Obtenemos la
prueba en algunos casos particulares, entre ellos el Teorema Fundamental del
Álgebra y los sistemas cuadrados cuadráticos (grado dos) de cualquier orden